Chapitre 5: Calcul des probabailités

Chapitre 5:

2. Calcul des probabilités

Pour calculer les probabilités associées à la loi normale, on utilise généralement la loi normale réduite: c'est une loi normale pour laquelle =0 et =1.

La table suivante permet de déterminer la probabilité que la variable x s'écarte de la moyenne de plus de z₀ × vers le haut.

Pour obtenir z₀, on calcule l'écart par rapport à la moyenne: = x - , puis on divise par l'écart type:

2^ème décimale de z₀
Z₀	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4	.500 .460 .421 .382 .345	.496 .456 .417 .378 .341	.492 .452 .413 .374 .337	.488 .448 .409 .371 .334	.484 .444 .405 .367 .330	.480 .440 .401 .363 .326	.476 .436 .397 .359 .323	.472 .433 .394 .356 .319	.468 .429 .390 .352 .316	.464 .425 .386 .348 .312
0.5 0.6 0.7 0.8 0.9	.309 .274 .242 .212 .184	.305 .271 .239 .209 .181	.302 .268 .236 .206 .179	.298 .264 .233 .203 .176	.295 .261 .230 .200 .174	.291 .258 .227 .198 .171	.288 .255 .224 .195 .169	.284 .251 .221 .192 .166	.281 .248 .218 .189 .164	.278 .245 .215 .187 .161
1.0 1.1 1.2 1.3 1.4	.159 .136 .115 .097 .081	.156 .133 .113 .095 .079	.154 .131 .111 .093 .078	.152 .129 .109 .092 .076	.149 .127 .107 .090 .075	.147 .125 .106 .089 .074	.145 .123 .104 .087 .072	.142 .121 .102 .085 .071	.140 .119 .100 .084 .069	.138 .117 .099 .082 .068
1.5 1.6 1.7 1.8 1.9	.067 .055 .045 .036 .029	.066 .054 .044 .035 .028	.064 .053 .043 .034 .027	.063 .052 .042 .034 .027	.062 .051 .041 .033 .026	.061 .049 .040 .032 .026	.059 .048 .039 .031 .025	.058 .047 .038 .031 .024	.057 .046 .038 .030 .024	.056 .046 .037 .029 .023
2.0 2.1 2.2 2.3 2.4	.023 .018 .014 .011 .008	.022 .017 .014 .010 .008	.022 .017 .013 .010 .008	.021 .017 .013 .010 .008	.021 .016 .013 .010 .007	.020 .016 .012 .009 .007	.020 .015 .012 .009 .007	.019 .015 .012 .009 .007	.019 .015 .011 .009 .007	.018 .014 .011 .008 .006
2.5 2.6 2.7 2.8 2.9	.006 .005 .003 .003 .002	.006 .005 .003 .002 .002	.006 .004 .003 .002 .002	.006 .004 .003 .002 .002	.006 .004 .003 .002 .002	.005 .004 .003 .002 .002	.005 .004 .003 .002 .002	.005 .004 .003 .002 .001	.005 .004 .003 .002 .001	.005 .004 .003 .002 .001

Cette probabilité peut aussi être calculée à l'aide de formules approximatives, plus aisées à manipuler. L'une d'elles est implémentée ci-dessous. Sa précision est très bonne (l'erreur est au maximum de 0,000015). N.B.: Les probabilités inférieures à 10^-10 = 10e-10 (un dix milliardième) ne sont pas considérées. Elles sont remplacées par zéro.

Lorsque l'on doit déterminer une probabilité à partir de la loi normale, on essaie de se ramener à une probabilité considérée dans la table.

Quelques cas concrets sont illustrés ci-dessous

Positionnez le curseur sur un cas pour obtenir l'illustration correspondante.

1)		4)
2)		5)
3)

Exemples:

Le poids des tomates produites par un jardinier obéit à une loi normale de moyenne 200 gr et d'écart type 40 gr.

Calculez la probabilité que le poids d'une tomate excède 250 gr.

Solution:
Calculez la probabilité que le poids d'une tomate soit inférieur à 100 gr.

Solution: la loi normale est symétrique on ne s'occupe pas du signe
moins de 100 gr: on s'écarte donc de la valeur moyenne = 200 gr de plus de z₀
Prob = 0,006 = 0,6 %
Calculez la probabilité que le poids d'une tomate soit inférieur à 230 gr.

Solution:

L'intervalle (< 230 gr) considéré contient la valeur moyenne (200 gr) on prend 1 - Prob(table):.

Prob = 1 - 0,227 = 0,773 = 77,3 %
Calculez la probabilité que le poids d'une tomate ne s'écarte pas de la valeur moyenne de plus de 20 gr.

Solution: on calcule d'abord la probabilité que le poids s'écarte de plus de 20 gr, vers le haut ou vers le bas:
On doit multiplier par 2 car on considère les deux côtés Prob = 2 × 0,309 = 0,618

On a donc une prob. de 0,618 que le poids s'écarte de de plus de 20 gr, et donc une prob. 1 - 0,618 que le poids ne s'écarte pas de plus de 20 gr.

Réponse: 0,382 = 38,2 %

Dernière modification: 17 janvier 2001.